Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Графы и их применение при решении задач Содержание Что такое графСвойства графаИстория возникновения графовЗадача о Кенигсбергских мостахПрименение графовВыводы Что такое граф В математике определение графа дается так:Графом называется непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек.Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами. Рёбра графа Вершины графа Дальше Что такое граф Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной. Нечётная степень Чётная степень содержание Свойства графов В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа.Число нечётных вершин любого графа чётно.Во всяком графе с n вершинами, где n≥2, всегда найдутся две вершины с одинаковыми степенями. Свойства графов Если в графе с n вершинами (n>2) в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдётся либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени n-1.Если полный граф имеет n вершин, то количество рёбер будет равно n(n-1)/2. Свойства графа Полный граф Неполный граф Свойства графа Ориентированный граф Неориентированный граф Изоморфные графы История возникновения графов Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о графах восходят к Л. Эйлеру. Дальше История возникновения графов Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической. содержание Задача о Кенигсбергских мостах Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Дальше Задача о Кенигсбергских мостах Среди жителей Кенигсберга была распространена следующая задача: можно ли пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, побывав на каждом мосту только один раз? Дальше Задача о Кенигсбергских мостах Пройти по Кенигсбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя. Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа. дальше Задача о Кенигсбергских мостах Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить «одним росчерком» невозможно. содержание Эйлеров граф Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. Решая задачу о кенигсбергских мостах, Эйлер сформулировал свойства графа:Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. дальше Эйлеров граф Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине. дальше Эйлеров граф Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них. дальше Эйлеров граф Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». ? Применение графов С помощью графов упрощается решение математических задач, головоломок, задач на смекалку. дальше Применение графов Задача:Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано? дальше Применение графов Решение: А Г В Б Д 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 дальше Применение графов В государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое максимальное число городов может быть в этом государстве? Применение графов Пусть существует некоторый город А. Из него можно добраться не более, чем до трёх городов, а из каждого из них ещё не более чем до двух (не считая А). Тогда всего городов не более 1+3+6=10. Значит всего городов не более 10. Пример на рисунке показывает существование авиалиний. А Применение графов Имеется шахматная доска 3x3, в верхних двух углах стоят два чёрных коня, в нижних – два белых (рисунок ниже). За 16 ходов поставьте белых коней на место чёрных, а чёрных на место белых и докажите, что за меньшее число ходов это сделать невозможно. Применение графов Развернув граф возможных ходов коней в круг, получим, что в начале кони стояли так, как на рисунке ниже: Вывод Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ. В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов». содержание

Приложенные файлы

Слайд 2

Граф – это конечная совокупность вершин, некоторые из которых соединены ребрами т.е. это совокупность точек, называемых вершинами, и линий, соединяющих некоторые из вершин, называемых ребрами или дугами в зависимости от вида графа.(н-р, схема метрополитена, генеалогическое дерево, дерево папок и каталогов и др.)

Слайд 3

Виды (примеры) графов:

Обычный (неориентированный) граф 2 вершины могут быть соединены только одним ребром. Соединяющие линии называются ребрами. (смежные вершины – это 2 вершины, соединенные ребром)

Слайд 4

Ориентированный граф (орграф) - это граф, у которого на линиях, соединяющих вершины, указано направление (соединяющие линии называются дугами)

Слайд 5

Нагруженный граф - это граф, у которого около каждого ребра проставлено число, характеризующее связь между соответствующими вершинами (граф с помеченными ребрами).

Слайд 6

Сеть- это орграф, у которого около каждого ребра проставлено число, характеризующее связь между соответствующими вершинами (орграф с помеченными ребрами).

Слайд 7

Решение задачи, моделируемой нагруженным графом или сетью, сводится, как правило, к нахождению оптимального в том или ином смысле маршрута, ведущего от одной вершины к другой

Слайд 8

Семантический граф- это граф или орграф, у которого около каждого ребра проставлено не число, а иная информация, характеризующее связь между соответствующими вершинами.

Слайд 9

Мультиграф 2 вершины соединены 2 ребрами и более (кратные ребра)

Слайд 10

Петля в графе (ребро соединяет вершину саму с собой)

Слайд 11

Понятие степени вершины графа – это количество ребер, выходящих из одной вершины

Слайд 12

СВОЙСТВА ГРАФОВ:

1) Для любого графа сумма степеней вершин равна удвоенному количеству ребер 2) Для любого графа количество вершин нечетной степени всегда четно (аналог задачи: в любой момент времени количество людей, сделавших нечетное количество рукопожатий, четно) 3) В любом графе есть по крайней мере 2 вершины, имеющие одинаковую степень.

Слайд 13

1) Маршрут на графе – это последовательность ребер, в которой конец одного ребра служит началом следующего (циклический маршрут – если конец последнего ребра последовательности совпадает с началом 1-го ребра)2) Цепь – это маршрут, в котором каждое ребро содержится не более одного раза3) Цикл – это цепь, являющаяся циклическим маршрутом4) Простая цепь – это цепь, проходящая через каждую свою вершину ровно 1 раз5) Простой цикл – это цикл, являющийся простой цепью6) Связанные вершины – это вершины (например, А и B), для которых существует цепь, начинающаяся в А и заканчивающаяся в B7)Связный граф – это граф, у которого любые 2 вершины связанны. Если граф несвязен, то в нем можно выделить так называемые связанные компоненты (т.е. множества вершин, соединенных ребрами исходного графа, каждое из которых является связным графом)Один и тот же граф может быть изображен по-разному.

Слайд 14

Пример 1

V={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}-это множество вершин графа. Для каждого из перечисленных ниже случаев изобразите граф и определите все степени вершин а) вершины x y соединены ребром тогда и только тогда, когда (x-y)/3 целое число б) вершины x y соединены ребром тогда и только тогда, когда x+y=9 в) вершины x y соединены ребром тогда и только тогда, когда x+y содержится в множестве V={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} г) вершины x y соединены ребром тогда и только тогда, когда |x-y|

1 слайд

2 слайд

Впервые основы теории графов появились в работах Леонарда Эйлера (1707-1783; швейцарский, немецкий и российский математик) , в которых он описывал решение головоломок и математических развлекательных задач. Теория графов началась с решения Эйлером задачи о семи мостах Кёнигсберга.

3 слайд

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды? Многие пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно. На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города - точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

4 слайд

Существуют 4 группы крови. При переливании крови от одного человека к другому не все группы совместимы. Но известно, что одинаковые группы можно переливать от человека к человеку, т.е. 1 – 1, 2 – 2 и т.д. А также 1 группу можно переливать всем остальным группам, 2 и 3 группу только 4 группе. Задача.

5 слайд

6 слайд

Графы Граф – это информационная модель, представленная в графической форме. Граф - множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. Граф с шестью вершинами и семью рёбрами. Вершины называют смежными, если их соединяет ребро.

7 слайд

Ориентированные графы - орграфы Каждое ребро имеет одно направление. Такие ребра называются дугами. Ориентированный граф

8 слайд

Взвешенный граф Это граф, рёбрам или дугам которого поставлены в соответствие числовые величины (они могут обозначать, например, расстояние между городами или стоимость перевозки). Вес графа равен сумме весов его рёбер. Таблице (она называется весовой матрицей) соответствует граф. 1 2 4 2 3 A B C D E

9 слайд

Задача Между населёнными пунктами A, B, C, D, E, F построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет). Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и F (при условии, что передвигаться можно только по построенным дорогам). 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12

10 слайд

1. 2. 3. 4. 5. Длина кратчайшего маршрута A-B-C-E-F равна 9 2 4 2 4 7 1 2 4 7 1 3 4 2 4 7 1 3 4 3 2 4 7 1 3 4 3 2

познакомить учащихся с понятием “Граф”, основными принципами его построения;

формировать умение выделять отношения, связывающие объекты;

развивать внимание, способность к логическому рассуждению;

воспитывать взаимопомощь, умение работать в коллективе

закрепление полученных знаний на практике

развитие памяти, внимания;

развитие самостоятельности;

воспитание познавательной активности.

Оборудование:

• компьютерный класс, оснащенный современной техникой, видеопроектор, экран;
• компьютеры с ОС Windows XP, программа Microsoft Office 2003 PowerPoint;
• оборудование доски (тема урока, новые термины). Раздаточный материал.

План урока.

II. Изложение нового материала. (10 мин.)

III. Закрепление материала. Практическая работа. (15-20 мин.)

IV. Подведение итога урока.(2 мин)

V. Домашнее задание.

I. Организационный момент. Актуализация знаний.

Здравствуйте! Наш урок называется “Графы”. Мы познакомимся с понятие “Графы”, научимся их изображать и решать задачи по этой теме.

II Изложение нового материала.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 г.), хотя термин “граф” впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых (примеры графов изображены на рисунке 1)

С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач.

Граф – (от греческого grapho – пишу) - это средство наглядного представления элементов объекта связей между ними. Это замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач.

Граф – это некоторая информационная модель

Граф состоит из вершин или узлов, связанных дугами или отрезками - рёбрами. Линия может быть направлена, т. е. иметь стрелку (дуга), если не направлена – ребро. Две вершины, соединённые дугой или ребром называются смежными.

Примеры графов (Слайд 4, 5, 6)

Задание 1 (Слайд 7):

Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам:

Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс; Марс – Уран.

Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Две вершины, соединённые дугой или ребром называются смежными. Каждому ребру или дуге соотносится какое-нибудь число. Число может обозначать расстояние между населёнными пунктами, время перехода от одной вершины к другой и т. д.

Задание 2 (9 слайд) – решение у доски. Маша пришла в зоопарк и хочет увидеть как можно больше зверей. По какой тропинке ей надо идти? Желтая, красная, зеленая?

Задание 3 (11 слайд) – решение у доски. Пять футбольных команд А, Б, В, Г, Д должны сыграть в матчи друг с другом. Уже сыграли А с Б, В, Г; Б с А, В, Д. сколько матчей уже сыграно? Сколько осталось сыграть?

Представление графов (Слайд 12)

Граф может быть представлен в виде списка дуг (АВ; 7), графически или с помощью таблицы.

Списки дуг	Графическая форма	Табличная форма
(АВ; 7),		А В С А 3 В 4 С 3 4

III. Закрепление материалы: учащимся предлагается разделить на группы и выполнить задания. Работая в малой группе, ученики обсуждают модели, основываясь на теоретических знаниях, полученных в начале урока. Тем самым достигается повторение и закрепление материала.

Задание 2 (Слайд 13)

IV. Итог урока

Ребята, какие новые слова вы сегодня узнали? (Граф, вершина графа, ребра графа.)

Что могут обозначать вершины графа? (Города; объекты, которые; связаны.)

Что обозначают ребра графа (Пути, движения, направления)

Приведите пример, где в жизни мы можем с ними встретиться?

Как изображаются графы?

V. Домашнее задание. (Слайд 15)